Cosa manca, esattamente, a centomila particelle che orbitano secondo GMm/r² perché smettano di essere un disco e comincino a essere una galassia a spirale?

GMm/r² è la prima formula che mi è rimasta in testa prima ancora di capirla per bene, verso i dodici anni, di fronte a un libro di divulgazione che prometteva l’universo in due pagine e mezzo. Trent’anni dopo ho scritto — con un agente di codice a fare da assistente, non da autore — un simulatore N-body che quella formula la applica centomila volte a ogni fotogramma, e il disco gira. Gira benissimo. Non fa la spirale.

Centomila particelle a ogni fotogramma vogliono dire dieci miliardi di coppie da calcolare, a forza bruta — troppo anche spalmato su sedici core. Il motivo per cui la simulazione gira in cinque minuti invece che in ore è un’idea di quarant’anni fa, il Fast Multipole Method: tratti ogni posizione sul piano come un numero complesso, z = x + iy, e il campo generato da un gruppo di particelle lontane smette di essere una somma di vettori e diventa lo sviluppo di Taylor di una funzione analitica in 1/z. Un blocco di diecimila particelle si riassume in una manciata di coefficienti complessi, e una particella lontana lo sente leggendo quei pochi numeri invece di diecimila posizioni. Il caso in cui l’analisi complessa, non la fisica, è quella che rende trattabile il problema.

La prima versione era pigra per costruzione: orbite perfettamente circolari, nessuna dispersione di velocità, un termine di softening abbastanza largo da appiattire ogni piccola disomogeneità prima che potesse crescere. Il risultato era un disco già in equilibrio quasi esatto al primo fotogramma — ruota come un tutto, ma internamente le particelle non si muovono quasi per niente le une rispetto alle altre, perché sono state messe lì già in bilancio di forze. Bello da vedere, fisicamente vuoto.

Il correttivo più efficace non è stato un parametro, ma un’idea presa in prestito da un posto inatteso: Lucrezio, il clinamen del De rerum natura — la minima deviazione casuale che rompe la caduta parallela degli atomi e permette loro di incontrarsi, aggregarsi, diventare cose. Ho aggiunto una dispersione di velocità, prima del 15% poi del 35%, alle orbite altrimenti perfettamente circolari: una piccola componente radiale e tangenziale casuale, la stessa funzione del clinamen — rompere una simmetria troppo perfetta perché qualcosa possa formarsi. Ha funzionato: struttura vera, grumi, vuoti, non più un disco liscio. Il conto di quanta dispersione serve per tenere a bada un disco l’ha fatto Toomre nel 1964, ma il suo criterio blinda solo contro un tipo preciso di collasso — quello assisimmetrico, anelli concentrici che si contraggono su sé stessi [1]. Contro i grumi non assisimmetrici, quelli che si vedono nell’immagine, il disco resta vulnerabile anche a dispersione sistemata: il clinamen previene un collasso, non tutti.

Non è diventata una spirale, però. E qui il problema non è mio, è strutturale: un N-body puro senza gas, senza formazione stellare, senza una barra viva che perturbi in continuazione, non regge una spirale a lungo. È il cosiddetto winding problem — ogni particella orbita con un periodo diverso a seconda del raggio, quindi qualunque braccio fatto di materia si avvolge su sé stesso in poche rotazioni e si sfilaccia. Lin e Shu, nel 1964, hanno risolto il rompicapo dicendo che la spirale non è fatta della stessa materia che gira insieme: è un’onda di densità che attraversa il disco, un ingorgo che resta fermo mentre le auto — le stelle — ci entrano ed escono in continuazione [2]. Il mio simulatore non ha questo meccanismo, e non potrebbe averlo comunque: le mie particelle sono collisionless, si muovono senza mai scambiarsi energia per urto. I bracci luminosi che si vedono nelle foto vere li accende il gas, che invece urta, si scalda e forma onde d’urto lungo il bordo interno della spirale — è lì che il gas si comprime abbastanza da far nascere stelle nuove [3]. Un disco di sole stelle, come il mio, produce al massimo bracci transitori che si arrotolano e scompaiono, mai un disegno stabile — e men che meno luminoso.

Poi c’è stato l’anello. Con la forza portata da 1/r a 1/r² — la cosa cambia davvero, non è un interruttore: i coefficienti complessi di prima valgono solo per il kernel 1/r, il potenziale logaritmico del caso 2D — con 1/r² quel trucco non si applica più, e ogni nodo lontano torna a contare come una massa puntiforme, un monopolo puro. C’è anche un costo fisico, non solo computazionale: le particelle restano confinate su un piano, ma la forza tra loro è quella vera, tridimensionale — manca lo sfogo verticale che in un disco reale (lo spessore, il riscaldamento fuori dal piano) assorbe parte dell’instabilità locale, e il collasso è più violento del previsto. Per bilanciarlo ho alzato la costante cosmologica da un valore trascurabile a uno che compete con la gravità, e sono usciti dodici grumi disposti in cerchio, con il centro completamente svuotato. Contro-intuitivo: normalmente il collasso privilegia il centro, dove la buca di potenziale è più profonda. Qui invece l’espansione, resa artificialmente forte, vince proprio dove il campo di un disco quasi uniforme è più debole in proporzione — verso il bordo — e la massa si condensa lì, in un anello.

È il fotogramma più bello da guardare e il meno onesto da raccontare senza qualche precisazione. Nella realtà la costante cosmologica è così debole che conta solo su scale di megaparsec — comincia ad avere un peso misurabile sulla dinamica di un ammasso di galassie intero, non su una singola galassia [4]. Il mio “anello di dodici galassie” non è un modello di formazione di struttura: è un universo giocattolo in cui ho preso un parametro che nella realtà è quasi zero e l’ho reso comicamente enorme finché non ha prodotto qualcosa di fotogenico. Funziona? Dipende cosa intendi per funzionare.

Il punto che mi interessa portarmi a casa non è astronomico, è metodologico, e riguarda tanto il codice quanto l’agente che mi ha aiutato a scriverlo: a ogni richiesta di “più movimento” il ciclo è stato identico — alza un parametro, guarda l’immagine, se è più interessante tienilo. È esattamente il meccanismo con cui si finisce per accettare un risultato perché è visivamente soddisfacente, non perché è corretto — lo stesso riflesso che mi mette in guardia quando leggo un output di modello linguistico che sembra plausibile invece che verificato. La differenza, qui, è che almeno so dove ho barato: nel valore di una costante, non nel testo.

Resta il disco che gira, senza spirali, con un anello che non dovrebbe esistere così com’è, e una domanda di dodici anni che non ho ancora chiuso.

Riferimenti

Toomre, A. (1964). “On the gravitational stability of a disk of stars.” Astrophysical Journal, 139, 1217.
Link: ADS PDF

Lin, C. C., & Shu, F. H. (1964). “On the Spiral Structure of Disk Galaxies.” Astrophysical Journal, 140, 646.
Link: ADS PDF

Lin, C. C., & Shu, F. H. (1966). “On the Spiral Structure of Disk Galaxies, II. Outline of a Theory of Density Waves.” Proceedings of the National Academy of Sciences, 55(2), 229–234.
Link: PNAS PDF

Roberts, W. W. (1969). “Large-Scale Shock Formation in Spiral Galaxies and its Implications on Star Formation.” Astrophysical Journal, 158, 123.
Link: ADS

Pace, F., et al. (2007). “Dark Energy and the mass of galaxy clusters.”
Link: arXiv PDF